Réponse :
a) la courbe passe par les points A(- 2 ; 0) et B(0 ; 1), calculer a et b
f(x) = (a x + b)e^cx
f(-2) = 0 = (- 2 a + b)e^-2c
f(0) = 1 = be⁰ or e⁰ = 1 ⇒ b = 1
f(-2) = 0 = (-2 a + 1)e^-2c or e^-2c ≠ 0 car c ≠ 0 sinon on aura f(x) = a x+b
⇒ - 2 a + 1 = 0 ⇒ a = 1/2
b) au point C d'abscisse - 1, la courbe admet une tangente // à l'axe des abscisses. Calculer c
calculons la dérivée de la fonction f
f(x) = (1/2 x + 1)e^cx
(u*v)' = u'v + u v'
u = 1/2 x + 1 ⇒ u' = 1/2
v = e^cx ⇒ v' = ce^cx
f '(x) = 1/2*(e^cx) + (1/2 x + 1) ce^cx
nous savons que la tangente // à l'axe des abscisses ⇒ f '(x) = 0
f '(-1) = 1/2 e^-c + (- 1/2 + 1)ce^-c = 0
= 1/2 e^-c - 1/2 ce^-c + c e^-c
= 1/2 e^-c + 1/2 ce^-c = 0
= 1/2 e^-c( 1 + c) = 0
⇒ 1/2 e^-c = 0 ⇒ e^-c = 1/e^c ⇒ e^c ≠ 0
⇒ 1 + c = 0 ⇒ c = - 1
Donc f (x) peut s'écrire : f(x) = (1/2 x + 1)e⁻ˣ
c) montrer que l'axe des abscisses est une asymptote
il suffit de montrer que la lim f(x) = 0
x → + ∞
f (x) = (1/2 x + 1)e⁻ˣ = (1/2 x + 1)/eˣ = 1/2(x/eˣ) + 1/eˣ
0 0
Donc lim f(x) = 0 ⇒ y = 0 donc la courbe de f est asymptotique à l'axe
x→+∞
des abscisses
d) déterminer les points d'intersection de la courbe avec la droite y = x + 2
f(x) = y ⇔ (1/2 x + 1)e⁻ˣ = x + 2
⇔ 1/2(x + 2)e⁻ˣ = x + 2 ⇔ e⁻ˣ = 2 ⇔ e^ln(-x) = ln2
⇒-x = ln2 ⇒ x = - ln2 = - 0.69
y = - ln2 + 2 = 1.3
Explications étape par étape
