Explications Ă©tape par Ă©tape:
À) Si alpha vaut 0, le point G est confondu avec H. Pour l'angle GDH, le point G peut se deplacer jusqu'à A. Et comme ABCD est un carré, on aura angle GDC = angle CDA = pi/2 radians = alpha.
Pour beta, le triangle CGH est rectangle en H donc beta est forcément inférieur ou égal à pi/2 radians (somme des angles d'un triangle valant pi radians).
Par somme des inégalités, on a alpha + beta compris entre 0 et pi rad.
B) Dans le triangle rectangle DHG on a cos (alpha) = DH / DG d'oĂą DG = DH / cos(alpha) et CG = CH / cos (beta).
C) On a cos (alpha) = DH/ DG, cos (beta) = CH/CG, sin alpha = HG/DG et sin(bĂŞta) = HG/CG donc :
Cos alpha cos bêta- sin alpha sin bêta = (DH x CH / (DG x CG))- (HG^2 / (DGxCG)) = (CH (DH-CH) / (DGxCG). Mais on dispose de 3 carrés identiques de côté 1, donc CH =2, DH = 3, DG = racine de 10 et CG = racine de 5. Donc le calcul vaut :
2/ racine de 50 = 2/5V(2). Avec V = racine carrée.
D) On a cos (alpha + beta) = 2/5V(2) il ne reste qu'Ă appliquer arccos et avoir l'angle en rad
