Réponse :
Bonjour, pour vérifier les affirmations on peut procéder de façon analytique ou par contre exemple. Les réciproques quant à elles de préference en contre exemple.
Explications étape par étape
a) Si x ∈ [0; π/4], alors cos(x) ≥ sin(x) VRAIE
On aura
[tex]0 \leq x\leq \frac{\pi}{4}\\ => 0\leq sinx\leq \frac{\sqrt{2} }{2} \leq cosx\leq 1\\\\\\d'ou \ \ cosx \geq sinx[/tex]
La réciproque n'est pas toujours vraie car
[tex]cos(-\frac{\pi }{6} ) \geq sin(-\frac{\pi }{6} )\\\\\frac{\pi}{6} \notin [0;\frac{\pi }{4} ][/tex]
b) Si x = y, alors cos(x) = cos(y) VRAIE
Car la fonction cosinus est une fonction injective.
La réciproque n'est pas vraie.
On a:
[tex]cos(0) = cos(\pi ) \\0\neq \pi[/tex]
c) Si x = π/4, alors cos(x) = sin(x) VRAIE
On a
[tex]cos\frac{\pi }{4} = sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \\[/tex]
La réciproque n'est pas toujours vraie.
On a:
[tex]cos\frac{5\pi }{4} = sin\frac{5\pi }{4}\\[/tex]
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