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résolu

Bonsoir , je n'arrive pas pouvez-vous m'aider svp (niveau seconde)
Dans un repère (0,I,J) orthonormé d'échelle 1cm, on considère les points A(3;0) et B(9;0). Soit Δ la médiatrice de [AB]. 1) faire une figure 2) Soit M un point quelconque de la médiatrice Δ. Quelle est l'abscisse du point M ? 3) Justifier, sans calcul, que ABM est isocèle en M.
4) On veut trouver les valeurs de y telles que ABM soit équilatéral. a) Calculer AB. En déduire AB2. b) Montrer que AM2 = 9 + y2 c) En déduire que : ABM est équilatéral si et seulement si y2 = 27. On pourra utiliser la définition de triangle équilatéral.
5) Quelles sont les coordonnées possibles du point M pour que ABM soit équilatéral ?

Répondre :

SCOLADANVIZ
Bonjour,

1) I milieu de [AB] ==> I( (3+9)/2; (0+0)/2)

soit I(6;0)


La médiatrice est la perpendiculaire à [AB] qui passe par I. Elle est aussi perpendiculaire à l'axe des abcisses car A et B appartiennent à cet axe.

2) L'abcisse de M est 6 ==> M(6;y)

3) AM = BM ==> AMB est isocèle en M.

4) a) AB=6

==> AB^2 = 36

b) Dans le triangle rectangle en I, AIM, on a :

AM^2 = AI^2 + IM^2

AI^2 = 3^3 = 9

IM^2 = (xM-xI)^2 + (yM-yI)^2 = 0^2 + y^2 = y^2

==> AM^2 = 9 + y^2

c) ABM équilatéral ==> AM^2 = AB^2 = 36

==> 9 + y^2 = 36

==> y^2 = 27

5) Coordonnées possibles :

x = 6

et y = racine(27) = 3racine(3)
ou y = - racine(27) = -3racine(3)

==> M(6;3V(3)) ou M(6;-3V(3))
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