bonjour,
P(-1) = [tex] (-1)^{3} [/tex] -5x (-1)² +2x (-1) + 8 = -1 -5 -2 +8 =0
P(x) = (x+1) (x²-6x+8) = [tex] x^{3} [/tex] -6x² +8x+x²-6x+8
= [tex] x^{3} [/tex] -5x²+2x+8
Avant d'étudier le signe de P(x), il faut factoriser l'expression x²-6x+8
x²-6x+8 =0
Δ =b² -4ac = (-6)² -4*8 = 36-32 =4 =2²
Δ positif, 2 racines [tex] x_{1} [/tex] = -b-√Δ / 2a = -(-6) -2 / 2 = 2 et [tex] x_{2} [/tex] = -b +√Δ / 2a =6+2 /2 =4 on peut donc factoriser l'expression sous forme a (x- [tex] x_{1} [/tex])(x-[tex] x_{2} [/tex])
a = 1 donc x²-6x+8 = (x-2)(x4)
P(x) s'écrit alors (x+1)(x-2)(x-4)
On peut maintenant étudier le signe de P(x) à partir du signe des membres
x+1 > 0 => x> -1 ; x-2> 0 => x> 2 ; x-4> 0 => x> 4
x : -∞ -1 2 4 +∞
x+1 : - 0 + + +
x-2 : - - 0 + +
x-4 : - - - 0 +
P(x) - 0 + 0 - 0 +
P(x) ≥0 a pour solution S = [-1 ; 2] ∪ [4 ; +∞[
