Bonjour
Paloclisaa
Exercice 1
a) Figure en pièce jointe.
[tex]b)\ \overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=(\overrightarrow{GA'}+\overrightarrow{A'B})+(\overrightarrow{GA'}+\overrightarrow{A'C})\\\\\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=2\overrightarrow{GA'}+(\overrightarrow{A'B}+\overrightarrow{A'C})[/tex]
Or A' est le milieu de [BC] ==> [tex]\overrightarrow{A'B}+\overrightarrow{A'C}=\overrightarrow{0}[/tex]
D'où
[tex]\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=2\overrightarrow{GA'}+\overrightarrow{0}\\\\\boxed{\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=2\overrightarrow{GA'}}[/tex]
c) Nous savons que dans un triangle, le centre de gravité se situe aux 2/3 de la médiane à partir du sommet.
D'où [tex]\overrightarrow{GA}=2\overrightarrow{A'G}[/tex]
On en déduit alors que : [tex]\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=2\overrightarrow{A'G}+(\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC})[/tex]
En utilisant la question b, nous avons :
[tex]\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=2\overrightarrow{A'G}+2\overrightarrow{GA'}\\\\\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=2(\overrightarrow{A'G}+\overrightarrow{GA'})\\\\\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=2\overrightarrow{A'A'}\\\\\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=2\overrightarrow{0}\\\\\boxed{\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}}[/tex]
Exercice 2
[tex]a)\ \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA})+(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GB})+(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GC})\\\\\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{MG}+(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC})\\\\\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{0}\ \ \ (voir\ exercice\ 1)[/tex]
[tex]\\\\\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{MG}}[/tex]
b) En utilisant la relation de la question précédente dans laquelle nous remplaçons M par K, nous obtenons :
[tex]\overrightarrow{KA}+\overrightarrow{KB}+\overrightarrow{KC}=3\overrightarrow{AB}\Longleftrightarrow3\overrightarrow{KG}=3\overrightarrow{AB}[/tex]
D'où
[tex]\overrightarrow{KA}+\overrightarrow{KB}+\overrightarrow{KC}=3\overrightarrow{AB}\Longleftrightarrow\boxed{\overrightarrow{KG}=\overrightarrow{AB}}[/tex]
Par conséquent, le point K vérifiant la relation [tex]\overrightarrow{KA}+\overrightarrow{KB}+\overrightarrow{KC}=3\overrightarrow{AB}[/tex] est un sommet du parallélogramme ABGK.
c) En utilisant la relation de la question a) dans laquelle nous remplaçons M par P, nous obtenons :
[tex]\overrightarrow{GN}=\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}\Longleftrightarrow\overrightarrow{GN}=3\overrightarrow{PG}[/tex]
En utilisant la relation de la question précédente dans laquelle nous remplaçons K par P, nous obtenons :
[tex]\overrightarrow{GN}=\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}\Longleftrightarrow\overrightarrow{GN}=3\overrightarrow{AB}[/tex]
Nous en déduisons donc que [tex]3\overrightarrow{PG}=3\overrightarrow{AB}[/tex]
soit que [tex]\overrightarrow{PG}=\overrightarrow{AB}[/tex]
D'où, en ne tenant compte que de la longueur de ces vecteurs, nous obtenons : [tex]\boxed{PG=AB}[/tex]
Par conséquent, l'ensemble des points P vérifiant la relation GN = AB est un cercle de centre G et de rayon égal à AB
Or AB = KG (par la question b)
D'où, l'ensemble des points P vérifiant la relation GN = AB est un cercle de centre G et de rayon égal à KG,
c'est-à-dire que l'ensemble des points P vérifiant la relation GN = AB est un cercle de centre G passant par le point K.
