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Besoin d'aide svp.

soit l'équation (E):1/x = x-2 où l'inconnue
est réel de l'intervalle ]0; + l'infini[.

1). un élève a représenté à la calculatrice l'hyperbole d'équation y= 1/x et la droite d'équation y= x-2.
au vu du graphique ci contre qu'il a obtenu à l'écran de sa calculatrice, combien l'équation (E) semble telle admettre de solutions sur ]0; + linfini [?

2).un second élève considère la fonction g définie sur ]0; + linfini[ par:
g(x)=x-2-(1/x).
a. Vérifier que résoudre l'équation (E) revient à résoudre l'équation g (x)=0
b. à l'aide de la calculatrice, donner un encadrement de la solution d'amplitude 10-².

3). un troisième élève dit 《je peux résoudre l'équation (E) algébriquement》
justifier, en résolvant l'équation (E), que ce troisième élève a raison. Comparer avec les résultats obtenus par le deuxieme élève.


Besoin Daide Svp Soit Léquation E1x X2 Où Linconnue Est Réel De Lintervalle 0 Linfini 1 Un Élève A Représenté À La Calculatrice Lhyperbole Déquation Y 1x Et La class=

Répondre :

Bonjour,

1) On voit sur le graphique que les 2 courbes ont un unique point d'intersection pour x ∈ ]0;+∞[. donc l'équation (E) a une seule solution sur cet intervalle.

2)

a) 1/x = x - 2

⇔ x - 2 - 1/x = 0

⇔ g(x) = 0

b) 2,41 < x < 2,42 (encadrement à 10⁻² près)

3)

1/x = x - 2

⇔ x - 2 - 1/x = 0

⇔ [(x - 2)x - 1]/x = 0

⇒ (x - 2)x - 1 = 0

⇔ x² - 2x - 1 = 0

Δ = (-2)² - 4x1x(-1) = 4 + 4 = 8 = (2√2)²

Donc 2 solutions :

x₁ = (2 - 2√2)/2 = 1 - √2    ∉ ]0;+∞[

x₂ = (2 + 2√2)/2 = 1 + √2

Soit x₂ ≈ 2,414

donc cohérent avec le résultat du deuxième élève
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