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résolu

Bonjour, j'ai un devoir maison en mathématiques, mais j'avoue que je cale sur la dernière question et je ne sais comment expliquer la d), voici le problème :

Soit n ∈ N un nombre entier positif quelconque.

a) Développer et réduire l'expression (n+1)² - n²
b) Ecrire l'égalité obtenue en a) pour n=2 ; n=3; n=7.
c) Inversement, écrire les nombres suivants comme la différence des carrés de deux entiers consécutifs : 9, 19 , 37, 425, 427; 429 .
d) Exprimer la somme 125+127+129 comme la différence des carrés de deux entier consécutifs.
e) En utilisant tout ce qui précède, calculer la comme 1+3+5+7+...+2013+2015+2017.

Les réponses et explications des questions d) et e) me suffiront,
Merci d'avance.

Répondre :

d)  125 + 127 + 129 =  3·127  =  381
381 = 2n + 1. Donc : n = 380/2 = 190
Preuve :  191^2  -  190^2  =  36481  -  36100 = 381

e) En regroupant les termes, on peut dire que cette somme vaut  : 
1 + 2017 + 3 + 2015 + 5 + 2013 + ...   = 2018 + 2018 + 2018 + ... le tout répété beaucoup de fois. Combien de fois ? 
Le premier terme est formé de 1 et 2017
Le suivant est formé de 3 et 2015
Le troisième est formé de 5 et 2013
Le 100ème est formé de : 199 et 2018 - 199 = 1909
Le 500ème est formé de 999 et 2018 - 999 = 1019
Le 504ème est formé de 1007 et de 2018 - 1007 = 1011
Il n'y a pas de 505ème, car il serait formé de 1009 et de 2018 - 1009 = 1009.
Donc la somme globale cherché est  504 fois 2018 + 1009.
Donc :  504 · 2018 + 1009  =  1'017'072 + 1009  =  1'018'081
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