Bonjour ;
1)
f admet des racines sur R si le discriminant de l'expression : x² + x + 2
est positif ou nul .
Le discriminant de x² + x + 2 est : Δ = 1² - 4 * 2 * 1 = - 7 < 0 ,
donc f n'admet pas de racines sur R .
2)
Comme f n'admet pas de racines R , alors f(x) = x² + x + 2
ne peut être factorisée .
3)
f n'admet pas de racines sur R , donc ne change pas de signe sur R ,
et comme le coefficient du monôme de second degré est positif ,
donc f est strictement positif sur R .
Voir le fichier ci-joint .
4)
D'après le tableau de signe , on a :
f(x) > 0 pour x ∈ R .
5)
f(x) = x² + x + 2 = x² + 2 * 1/2 * x + (1/2)² - (1/2)² + 2
= (x + 1/2)² - 1/4 + 2 = (x + 1/2)² + 7/4 ,
donc le sommet de la parabole est : S(- 1/2 ; 7/4) .
Voir le fichier ci-joint .
6)
Voir le fichier ci-joint .
