f(x) = (x + 1)² - 4
1) Factoriser, puis développer f(x)
f(x) = (x + 1)² - 4 ⇔f(x) = (x + 1)² - 2² c'est une identité remarquable
a² - b² = (a + b)(a - b)
a = x + 1
b = 2
f(x) = (x + 1)² - 4 ⇔f(x) = (x + 1)² - 2² = (x + 1 + 2)(x + 1 - 2)
f(x) = (x + 3)(x - 1) forme factorisée
f(x) = (x + 3)(x - 1) = x² - x + 3 x - 3
f(x) = x² +2 x - 3 forme développée
2) choisir l'expression la plus adaptée de f(x) pour résoudre les inéquations suivantes
a) f(x) > 0 La forme factorisée qui est la plus adaptée
f(x) = (x + 3)(x - 1) > 0 ⇒ x + 3 > 0 ⇒ x > - 3 et x - 1 > 0 ⇒ x > 1
L'ensemble des solutions de l'inéquation est S = ]- ∞ ; - 3[U]1 ; + ∞[
b) f(x) < - 3 La forme développée qui est la plus adaptée
f(x) = x² +2 x - 3 < - 3 ⇔ x² + 2 x < 0 ⇔ x(x + 2) < 0 ⇒ x < 0 et x + 2 > 0 ⇒ x > - 2
L'ensemble des solutions est S = ]- 2 ; 0[
c) f(x) < x + 3 La forme factorisée qui est la plus adaptée
f(x) = (x + 3)(x - 1) < x + 3 ⇔ (x + 3)(x - 1) - x - 3 < 0 ⇔
(x + 3)(x - 1) - (x +3) < 0 ⇔ (x + 3)(x - 1 - 1) < 0 ⇔ (x + 3)(x - 2) < 0
⇒ x + 3 < 0 ⇒ x < - 3 et x - 2 > 0 ⇒ x > 2
S = ] - 3 ; 2[
