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Réponse :
L’espace est muni d’un repère orthonormal (O ; i ; j ; k ).
On considère les points : A(2 ; 1 ; –1), B(–1 ; 2 ; 4), C(0 ; –2 ; 3), D(1 ; 1 ; –2)
P est le plan d’équation : x – 2y + z + 1 = 0 .Les questions sont indépendantes
1°)
vectAB =( -3 ; 1; 5) vectAC =( -2 ; -3 ; 4) ces vecteurs ne sont pas colinéaires donc les points A, B et C définissent un plan
2°) x – 2y + z + 1 = 0 . A(2 ; 1 ; –1), 2-2-1+1=0 donc A ∈P
C(0 ; –2 ; 3), 0+4 +3+1 ≠ 0 C∉ P
La droite (AC) n'est pas incluse dans le plan P
3°)
A(2 ; 1 ; –1), 2+8+1-11 =0
B(–1 ; 2 ; 4), -1+10-12-11≠ 0
x + 8y – z – 11 = 0 n'est pas une équation du plan (ABD) ?
4°) vectBD =(2; -1 ; -6)
une équation paramétrique de la droite (BD) est
x = -1 + 2t y=2-t z= 4 -6t t est le paramètre
5°)
vectAB =( -3 ; 1; 5) vectCD= (1; 3; -5)
AB.CD = -3 + 3-25 ≠0 donc Les droites (AB) et (CD) ne sont pas orthogonales
6°) a)
P est le plan d’équation : x – 2y + z + 1 = 0 un vecteur normal à ce plan est n = (1;-2;1)
soit E( x; y; z) vectCE = ( x: y+2 ; z-3) vect CE et n sont colinéaires donc
x=1a y+2= -2a z-3 = a
d'autre part E ∈ P donc x – 2y + z + 1 = 0
a -2(-2a-2) +(3+a) +1 = 0 a+4a+4+3+a+1=0 6a+8 =0 a= -8/6 = -3/4
x= -3/4 y = 3/2 -2 = - 1/2 z = -3/4 + 3 = 9/4 E( -3/4; -1/2 ; 9/4)
vect CE =( -3/4 ; 3/2 ; -3/4)
b) la distance du point C au plan P est CE = √( 9/16 + 9/4 + 9/16)
=√(27/8)
7°)
Q : 2x + y – z + 3 = 0 donc y = -2x + z -3
P est le plan d’équation : x – 2y + z + 1 = 0 donc
x+4x- 2z+6 +z+ 1 = 0 5x - z + 7=0 z = 5x +7
y= -2x + z -3 = -2x +5x +7 -3 = 3x +4
la droite d'intersection des plans P et Q a pour équations paramétriques
x =t y= 3t+4 z = 5t+7 t est le parametre
8°) une équation cartésienne du plan (BCD) est
ax+by+cz =d
B(–1 ; 2 ; 4), -a+2b+4c=d
C(0 ; –2 ; 3), -2b+3c=d = -a+2b+4c d'où a = 4b +c
D(1 ; 1 ; –2) a+b-2c = d = -a+2b+4c d'où 2a= b + 6c
enfin 2(4b+c)= b +6c 8b+2c= b+6c 7b = 4c
Par exemple b=4 c=7 a = 23 d= 13
une équation cartésienne du plan (BCD) est 23x+4y+7z = 13
9°) Calculer AB.AC.
vectAB =( -3 ; 1; 5) vectAC =( -2 ; -3 ; 4)
AB.AC= 6 - 3 +20 = 23 AB= √9+1+25 = √35 AC=√4+9+16= √29
cos BAC = 23/ (√35 * √29) BAC= arc cos( 23/ (√35 * √29) ) =
43.78 6 degres
10°) Résoudre avec la méthode de Gauss le système :
2x + 3y – 5z = –2 3y = 5z - 2 -2x
–5x + 3y – 4z = 1 3y = 5x +4z + 1 donc 5z - 2-2x= 5x +4z +1
z = 7x + 3
3x – y + 7z = 12 y = 3x +7z -12 = 3x + 49x + 21 -12 = 52x + 9
y= 52x +9
3 y = 5z - 2 -2x 3(52x + 9 )= 5(7x+3) - 2-2x
156x + 27 = 35x +15 -2 -2x 156x -33x = 15-2-27
123x = -14 x = -14 / 123 y = 379/123 z= 271/123
11°) Déterminer une équation cartésienne du plan médiateur du segment [AD]
le plan médiateur du segment [AD] a pour vecteur normal AD =(-1; 0; -1)
et passe par le milieu K de [AD] K( 3/2 ; 1 ; -3/2)
son équation est -x-z= d avec -3/2 +3/2=d = 0
-x-z =0 ou x+z=0
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