Théorème : chaque médiane sépare un triangle ABC en deux triangles ayant la même aire.
(voir image)
en effet aire ABM = (BM x AH)/2
et aire AMC = (MC x AH)/2 (BM = MC et même hauteur)
Exercice :
1) BE est la médiane relative au côté [AC]
d'après le théorème précédent
aire BFD + aire FDCE = aire BAF + aire AFE (1)
2) AD est la médiane relative au côté [BC] d'où
aire BAF + aire BFD = aireAFE + aire FDCE (2)
par addition des égalités (1) et (2) membre à membre on obtient
2 (aire BFD) + aire FDCE + aire BAF = 2 (aire AFE) + aire BAF + aire FDCE
en supprimant les termes égaux des deux membres il reste
2 (aire BFD) = 2 (aire AFE) et en simplifiant par 2
aire BFD = aire AFE
remarque
Si l'on trace la troisième médiane CF on découpe le triangle ABC en 6 petits triangles. Un raisonnement analogue au précédent permet de démontrer que ces 6 triangles ont la même aire.
(F est le centre de gravité du triangle)
