Réponse :
Salut !
Déjà on va utiliser une petite formule : si |x| < 1, alors on a,
[tex]\sum \limits_{n = 0}^{+\infty} x^n = \frac{1}{1-x}[/tex]
(tu peux le démontrer facilement, en passant par les sommes partielles, puis en faisant tendre n vers l'infini).
Du coup ça te donne la valeur de ta première somme, qui vaut... 2-1 = 1 (d'ailleurs c'est plutôt une bonne nouvelle si tu veux définir une variable aléatoire à valeurs dans N).
Pour la question 2, tu as la formule,
[tex]\sum \limits_{n = 1}^{+\infty} nx^{n-1} = \frac{1}{(1-x)^2}[/tex]
Donc, si tu fais le calcul,
[tex]\mathbb E(X) = \sum \limits_{k=1}^{+\infty} \frac{k}{2^k} = \frac 12 \cdot 4= 2[/tex]
Explications étape par étape
